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  1. Compiti ed Appunti Scolastici/

Determina perimetro e area di un triangolo dati i vertici. Geometria analitica.

·528 parole·3 min·πŸ™ˆ ·

Esercizio 3 #

Dopo aver rappresentato il triangolo di vertici $A(-1,1), B(2,0), C(1,4)$ determina la misura del suo perimetro e la sua area.

Calcoliamo il perimetro #

Per calcolare il perimetro dovremo trovare la lunghezza dei lati di ABC.

Calcolare la distanza tra due punti #

Per trovare la lunghezza di ogni lato bisogna calcolare la distanza tra i due estremi del segmento. Ecco la formula:

$d(A_{1},A_{2}) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2,({y_{2}-y_{1})^2}}$

Calcoliamo la lunghezza di AB. #

$ AB = \sqrt{(-1-2)^2+(1-0))^2} $

$ AB = \sqrt{9+1} $

$ AB = \sqrt{10} $

Calcoliamo la lunghezza di BC. #

$ BC = \sqrt{(2-1)^2+(0-4))^2} $

$ BC = \sqrt{1+16} $

$ BC = \sqrt{17} $

Calcoliamo la lunghezza di CA. #

$ CA = \sqrt{(-1-1)^2+(1-4))^2} $

$ CA = \sqrt{4+9} $

$ CA = \sqrt{13} $

Otteniamo la lunghezza del perimetro #

Avendo ottenuto la lunghezza di ogni lato, possiamo calcolare il perimetro.

$2p = AB + BC + CA$

$2p = \sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{13}$


Calcoliamo l’ area #

La formula dell’ area Γ¨ $ A = \frac{h * b}{2} $.

Consideriamo AB come base del triangolo.

Come troviamo l’ altezza #

Per trovare l’ altezza relativa alla base AB dobbiamo trovare il segmento HC. H Γ¨ un punto appartenente ad AB e C Γ¨ il vertice opposto. Il punto H Γ¨ l’ intersezione tra le rette AB e HC. HC Γ¨ perpendicolare ad AB poichΓ© altezza, quindi il coefficiente angolare della retta HC sarΓ  l’ antireciproco di quello di AB.

Formula del coefficiente angolare #

$$ m = \frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-{x_{B}}} $$

Innanzitutto, troviamo il coefficiente angolare di AB.

$ m_{AB} = \frac{1-0}{-1-2} = -\frac{1}{3} $

L’ altezza Γ¨ perpendicolare, quindi la retta HC dovrΓ  avere un coefficiente angolare antireciproco a quello della retta AB.

$ m_{h} = 3 $

Equazioni delle rette HC e AB #

Equazione della retta HC imponendo il passaggio per C(1,4):

$ y = 3x + q $

$ 4 = 3x + q $

$ q = 1 $

Quindi

$ y = 3x + 1 $

Equazione della retta passante per AB:

$$ \frac{y-y_{A}}{y_{B}-{y_{A}}} = \frac{x-x_{A}}{x_{B}-{x_{A}}} $$

$$ \frac{y-1}{0-1} = \frac{x+1}{-2+1} $$

$$ -y-1 = \frac{-x+1}{3} $$

$$ y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} $$

Troviamo il punto H, intersezione tra le rette HC e AB. #

Per trovare il punto d’ intersezione, mettiamo a sistema le due rette

$$ \begin{cases} y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} \ y = 3x + 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 3x + 1 = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} \ y = 3x + 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 9x + 3 = -x + 2 \ y = 3x + 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} 10x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{10} \ y = 3\times(-\frac{1}{10}) + 1 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = -\frac{1}{10} \ y = -\frac{3}{10}+\frac{10}{10} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} x = -\frac{1}{10} \ y = \frac{7}{10} \end{cases} $$

Con le coordinate $ H(-\frac{1}{10},\frac{7}{10}) $ e $ C(1,4) $

Calcoliamo l’ altezza CH #

$ CH = \sqrt{(1+\frac{1}{10})^2+(4-\frac{7}{10})^2} $

$ CH = \sqrt{(\frac{11}{10})^2+(\frac{33}{10})^2} $

$ CH = \sqrt{\frac{121}{10}} $

Calcoliamo finalmente l’ area. #

$ A = \frac{CH \times AB }{2} $

$ A = \frac{\sqrt{10}\times\frac{11}{10}\times\sqrt{10}}{2} $

$ A = \frac{10\times\frac{11}{10}}{2} $

$ A = \frac{11}{2} $