Raggiungi il contenuto principale
bortox.it 🦅 il nido del cuculo
  1. Compiti ed Appunti Scolastici/

Dimostrazione grafica formula delle lenti sottili

·304 parole·2 min·🙈 ·

La formula delle lenti sottili afferma una relazione tra distanza focale, distanza dell’immagine e distanza dell’oggetto, in una lente.

Introduzione #

Iniziamo con una situazione ideale: un bastoncino viene posato a distanza p da una lente convergente, con distanza focale f.

  • q = distanza dell’immagine {proiezione dell’oggetto}
  • p = distanza oggetto
  • f = distanza focale della lente

Questa dimostrazione proverà attraverso rapporti geometrici la formula delle lenti sottili, ossia:

$$ \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f} $$

Dimostrazione #

{% picture loaded data/img/fisica/appunti/lenti/dimostrazione-snell.jpg –alt Dimostrazione grafica con disegno %}

Considero i triangoli HCF e FQH’, essi sono simili poiché:

  • $$F\hat{Q}H \cong F\hat{C}H’ \cong \frac{\pi}{2}$$ per costruzione
  • $$H\hat{F}C \cong H’\hat{F}Q$$ perché opposti al vertice
  • $$C\hat{H}F \cong F\hat{H’}Q$$ per differenza di angoli congruenti

Se HCF e FQH’ sono simili, allora

$$ \frac{CH}{CF}=\frac{QH’}{QF} \Rightarrow \frac{h_o}{f}=\frac{h_i}{q-f} $$

Del rapporto soprastante appena ricavato dalla similitudine dei triangoli, ottengo che, l’altezza dell’oggetto sta alla distanza focale, come l’altezza dell’immagine sta alla sottrazione tra distanza dell’immagine e distanza focale. Posso semplificarlo in questo modo:

$$ \frac{q-f}{h_o}\frac{h_o}{f}=\frac{h_i}{q-f}\frac{q-f}{h_o} $$

$$ \Rightarrow \frac{h_i}{h_o}=\frac{q-f}{f} $$


Successivamente considero i triangoli POC e CQH, essi sono simili poiché:

  • $$P\hat{O}C \cong C\hat{Q}H’ \cong \frac{\pi}{2}$$ per costruzione
  • $$O\hat{C}P \cong Q\hat{C}H’$$ perché opposti al vertice
  • $$C\hat{H}Q \cong C\hat{O}P$$ per differenza di angoli congruenti

Se POC e CQH sono simili, allora

$$ \frac{QH’}{PO}=\frac{CQ}{OC} \Rightarrow \frac{h_i}{h_o}=\frac{q}{p}$$

Conclusione #

Unendo i risultati dalla similitudine delle due coppie di triangoli, ottengo che:

$$ \frac{q}{p} = \frac {q-f}{f} $$

Adesso basta soltanto eseguire delle semplificazioni per ottenere la formula delle lenti sottili.

Il metodo utilizzato qui sotto per semplificare il risultato non è quello più veloce, ma è uno dei più semplici da intuire.

$ 0 = \frac{-q+f}{f}+\frac{q}{p} $

$ 0 = \frac{1}{q}(\frac{-q}{f}+\frac{f}{f}+\frac{q}{p}) $

$ 0 = -\frac{1}{f}+\frac{f}{fq}+\frac{1}{p} $

$ \frac{1}{f} = \frac{1}{q}+\frac{1}{p} $

Come volevasi dimostrare, c.v.d.

Suggerimento: questa dimostrazione può essere utilizzata anche per verificare la formula dell’ingrandimento!