Esercizio 3

Dopo aver rappresentato il triangolo di vertici $A(-1,1), B(2,0), C(1,4)$ determina la misura del suo perimetro e la sua area.

Calcoliamo il perimetro

Per calcolare il perimetro dovremo trovare la lunghezza dei lati di ABC.

Calcolare la distanza tra due punti

Per trovare la lunghezza di ogni lato bisogna calcolare la distanza tra i due estremi del segmento. Ecco la formula:

$d(A_{1},A_{2}) = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2,({y_{2}-y_{1})^2}}$

Calcoliamo la lunghezza di AB.

$ AB = \sqrt{(-1-2)^2+(1-0))^2} $

$ AB = \sqrt{9+1} $

$ AB = \sqrt{10} $

Calcoliamo la lunghezza di BC.

$ BC = \sqrt{(2-1)^2+(0-4))^2} $

$ BC = \sqrt{1+16} $

$ BC = \sqrt{17} $

Calcoliamo la lunghezza di CA.

$ CA = \sqrt{(-1-1)^2+(1-4))^2} $

$ CA = \sqrt{4+9} $

$ CA = \sqrt{13} $

Otteniamo la lunghezza del perimetro

Avendo ottenuto la lunghezza di ogni lato, possiamo calcolare il perimetro.

$2p = AB + BC + CA$

$2p = \sqrt{10}+\sqrt{17}+\sqrt{13}$

Calcoliamo l’ area

La formula dell’ area è $ A = \frac{h * b}{2} $.

Consideriamo AB come base del triangolo.

Come troviamo l’ altezza

Per trovare l’ altezza relativa alla base AB dobbiamo trovare il segmento HC. H è un punto appartenente ad AB e C è il vertice opposto. Il punto H è l’ intersezione tra le rette AB e HC. HC è perpendicolare ad AB poiché altezza, quindi il coefficiente angolare della retta HC sarà l’ antireciproco di quello di AB.

Formula del coefficiente angolare
\[m = \frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-{x_{B}}}\]

Innanzitutto, troviamo il coefficiente angolare di AB.

$ m_{AB} = \frac{1-0}{-1-2} = -\frac{1}{3} $

L’ altezza è perpendicolare, quindi la retta HC dovrà avere un coefficiente angolare antireciproco a quello della retta AB.

$ m_{h} = 3 $

Equazioni delle rette HC e AB

Equazione della retta HC imponendo il passaggio per C(1,4):

$ y = 3x + q $

$ 4 = 3x + q $

$ q = 1 $

Quindi

$ y = 3x + 1 $

Equazione della retta passante per AB:

\[\frac{y-y_{A}}{y_{B}-{y_{A}}} = \frac{x-x_{A}}{x_{B}-{x_{A}}}\] \[\frac{y-1}{0-1} = \frac{x+1}{-2+1}\] \[-y-1 = \frac{-x+1}{3}\] \[y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}\]
Troviamo il punto H, intersezione tra le rette HC e AB.

Per trovare il punto d’ intersezione, mettiamo a sistema le due rette

\[\begin{cases} y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} \\ y = 3x + 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} 3x + 1 = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3} \\ y = 3x + 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} 9x + 3 = -x + 2 \\ y = 3x + 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} 10x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{10} \\ y = 3\times(-\frac{1}{10}) + 1 \end{cases}\] \[\begin{cases} x = -\frac{1}{10} \\ y = -\frac{3}{10}+\frac{10}{10} \end{cases}\] \[\begin{cases} x = -\frac{1}{10} \\ y = \frac{7}{10} \end{cases}\]

Con le coordinate $ H(-\frac{1}{10},\frac{7}{10}) $ e $ C(1,4) $

Calcoliamo l’ altezza CH

$ CH = \sqrt{(1+\frac{1}{10})^2+(4-\frac{7}{10})^2} $

$ CH = \sqrt{(\frac{11}{10})^2+(\frac{33}{10})^2} $

$ CH = \sqrt{\frac{121}{10}} $

Calcoliamo finalmente l’ area.

$ A = \frac{CH \times AB }{2} $

$ A = \frac{\sqrt{10}\times\frac{11}{10}\times\sqrt{10}}{2} $

$ A = \frac{10\times\frac{11}{10}}{2} $

$ A = \frac{11}{2} $